留学培训的管理涉及多个层级和部门，具体划分如下：

一、教育部及直属机构

教育部留学服务中心

作为教育部直属事业单位，负责出国留学、留学回国、来华留学及教育国际交流与合作服务，包括公派留学手续办理、自费留学人员服务、学历认证等。

国家留学基金管理委员会（CSC）

直属教育部非营利性机构，主管中国公民出国留学和外国公民来华留学的组织、资助、管理，具体实施国家公派留学计划。

北京外国语大学出国留学培训基地

教育部直属单位，承担国家教委公派人员外语强化培训及自费留学项目招生、教学和管理工作。

二、地方教育部门

地方教育部门在教育部指导下，负责本行政区域内留学相关事务：

人事教育局：

部分单位（如高校）的公派出国留学工作由人事教育局管理；

教育厅：统筹协调地方留学培训资源，监督学历类培训机构合规性。

三、其他相关机构

中国（教育部）留学服务中心各地分支机构：具体办理当地留学人员手续，如档案管理、回国就业落户等；

高校相关部门：如北京外国语大学培训部，负责本校公派及自费留学的具体实施。

总结

留学培训管理以教育部为核心，通过国家留学基金管理委员会、教育部直属事业单位及地方教育部门三级体系运作。公派留学归国家留学基金管理委员会管理，自费留学及部分培训项目由教育部直属机构或地方教育部门监管，具体业务由留学服务中心等机构执行。